Iterationen
Iterationen sind Wiederholungen von einfachen Berechnungen.
Sie können entweder händisch durchgeführt werden, oder mithilfe eines Computerprogramms.
Um diese Dichte an Wiederholungen zu erlangen ist es notwendig eine große Menge an Berechnungen durchzuführen.
Beispielsweise betrachten wir die Iteration
\[1, 1^2+1, (1^2+1)^2+1, ((1^2+1)^2+1)^2+1,\]
diese ergibt die Zahlen 1, 2, 5, 26, und so fort.
Je weiter die Rechnung fortgesetzt wird, desto höher werden die Ergebnisse.
Wenn wir aber statt 1 eine andere Zahl am Anfang angeben, kommen ganz unterschiedliche Folgen heraus.
Die Struktur ist einfach,
das Ergebnis aber unvorhersehbar.
Alle Bilder wurden mit Hilfe eines Computerprogramms erzeugt. Dieses Programm (XaoS) berechnet blitzschnell Millionen von Iterationen ähnlicher Formeln. Jede Position des Bildschirms entspricht einem Startpunkt einer Iteration. Auch wenn dieselbe Formel für dasselbe Bild verwendet wird, kann die Iteration für die verschiedenen Startpunkte völlig unterschiedliche Zahlen ergeben. Die Zahlen sind hier mit Farben dargestellt. Weitere Infos zum Thema finden Sie auf Wikipedia.
Catseye
Alina Klinger (2000)
Dieses Fraktal (Catseye, Katzenauge) wurde von Árpád Fekete zu XaoS
hinzugefügt.
Fekete leistete zahlreiche Beiträge zu anderen mathematischen Programmen wie
GeoGebra und matek.hu.
Infinite dragon tails
Benedikt Meyer (1992)
Starlight
Nicole Herzog (2001)
Starlight wird durch das Fraktal Octo, welches von Thomas A. K. Kjaer
entdeckt wurde, mithilfe des Programms XaoS erzeugt. Der
Hell-Dunkel-Kontrast sowie die schimmernden Farben lassen den Stern
erstrahlen. Mit seiner Schönheit beleuchtet er den Nachthimmel und
sorgt für unvergessliche Momente.
Universe
Hannah Hofmarcher (1999)
Die Mandelbrot-Menge ist das berühmteste Flucht-Zeit-Fraktal aller
Zeiten. Sie hat die einfache Formel \(z\mapsto z^2+c\). Siehe das
Kapitel über die Mandelbrot-Menge im Lernprogramm.
Snowflake
Kerstin Grimas (1996)
Auch dieses Bild basiert auf der Mandelbrot-Menge.
Die weiße Farbe und die sternförmige Ausbreitung mit den vielen Zacken lässt einen an eine Schneeflocke erinnern.
Sprühende Farben
Tobias Innerhofer (1997)
Ein anderes Bild mit der Formel \(z\mapsto z^2+c\). Dieses Bild
überzeugt mich durch die wunderschönen Farbverläufe die sich
miteinander Verschlingen.
Struktur des Ausbruchs
Reinfried Wiesmayr (1973)
Das Bild basiert auf einer Barnsley Formel aus seinem Buch „Fractals everywhere.“
Seine Iterationen – Formeln erzeugen sehr schöne kristalline Julia-Mengen (benannt nach dem Mathematiker Gaston Maurice Julia).
Ich persönlich finde das Fraktalbild sehr nett, da es auch gerade Kanten und Ecken besitzt.
Seine Iterationen – Formeln erzeugen sehr schöne kristalline Julia-Mengen (benannt nach dem Mathematiker Gaston Maurice Julia).
Ich persönlich finde das Fraktalbild sehr nett, da es auch gerade Kanten und Ecken besitzt.
Phoenix
Hannah Hofmarcher (1999)
Grundlage für dieses Bild ist die Mandelbrotmenge.
Blitz
Zoltán Kovács (1975)
Ich fand diese schöne Farbkombination, als ich 2003 mit der Arbeit an
XaoS begann. Ich kontaktierte Jan Hubička, den Hauptautor von XaoS,
damit ich seinen Code um internationalisierte Menüs erweitern konnte.
Jan arbeitete zu dieser Zeit an seiner Doktorarbeit und zog es
vor, seine Forschungen zur Graphentheorie fortzusetzen. Er wurde ein
großer Mathematiker im Forschungsteam von Jaroslav
Nešetřil. Derzeit
arbeitet er an der Karlsuniversität in Prag.
Malstrom
Tobias Innerhofer (1997)
Dieses Bild basiert auf der Mandelbrotmenge.
Ich habe dieses Bild Malstrom genannt, da der Große Strudel aus Farben und die kleinen
Strudel dazwischen meinen Blick in einen Bann zogen.
Danis Diamond
Daniela Hartner (1989)
Durch die Spaltung eines Diamanten in eine psychedelische Welt von funkelnden Farben eintauchen...
Lost in Manhattan
Zoltán Kovács (1975)
Dieses Bild basiert auf dem Sierpinski-Teppich
und wurde mit Hilfe
der Kreisspiegelung
zu einem unendlichen Muster. Die Farben
und die Struktur erinnern mich daran, mich in einer Metropole zu
verlieren.
Stille Farbwellen
Reinfried Wiesmayr (1973)
Dieses Bild wird mit der „Octo“ – Iteration erzeugt, welche von Kjaer entdeckt und zu XaoS zugefügt wurde.
Dies ist eher weniger bekannt, es erzeugt allerdings sehr interessante Formen.
Mir persönlich gefällt die Vergleichbarkeit der Farben und Formen zu Schwimmschlangen. 😊
El Coral Eterno
Esther Dávila Méndez (1997)
Dieses Fraktalbild hat den Titel “El Coral Eterno”, welcher auf
Deutsch “Die ewige Koralle” lautet. Der Grund für diesen Namen ist,
dass diese Veranschaulichung mich an eine nie endende Koralle
erinnert. Abgesehen davon, liebe ich persönlich das Vorhandensein von
vielen verschiedenen Farben, denn es vermittelt meiner Meinung nach
Lebensfreude.
Colorful flow
Theresa Hain (1997)
Colorful flow zeigt das Fraktal Mandelbrot^6 mit der äußeren Färbung
biomorphs. Die Mandelbrotmenge ist das berühmteste Fluchtzeit-Fraktal
aller Zeiten. Es hat die einfache Formel \(z\mapsto z^2+c\). Mandelbrot^6 hat
fast dieselbe Formel, nämlich \(z\mapsto z^6+c\). Das Fraktal ist an einem
sonnigen Herbstabend entstanden, als sich die Sonne gerade Richtung
Horizont neigte. Das schwarze Ende wird vom Farbfluss verdrängt.
Wenn Sie das Programm XaoS installieren, können Sie die Eingabedateien für alle Bilder herunterladen. Dann können Sie in die Fraktale sehr weit hineinzoomen.
Die Ausstellung kann in der Weißen Galerie an der Pädagogischen Hochschule der Diözese Linz bis Mitte März 2022 besucht werden.